L'auto similarité, une des caracteristiques les plus importantes des fractales.

 

 

Il existe de nombreux objets auto similaires dans notre monde, la forme d'une montagne ou d'une crête, est souvent reflétée, répétée en formations plus petites de rochers à sa base. Les bronche des poumons humains révèlent au moins 15 niveaux d'auto similarité. Le parcours, les courbes d'une rivière sont reproduits à petite échelle sur les bancs de sables sur les rivages. La fougère montre une auto-similarité. On suggère que le secret de l'ADN pour coder autant d'informations est l'auto similarité.

Un objet de base auto similaire est la courbe de Von Koch ou la courbe du flocon de neige. Principe de construction de cette courbe :

a) Tracer une ligne que vous coupez en trois parties égales de longueur a.

b) Effacez le segment du milieu.

c) Tracez un premier segment à 60° et un autre à coté à 120°. Ou créez un triangle équilatéral de longueur a dans le segment du milieu. Effacez la base.

Pour construire la courbe on part d'un triangle équilatéral au lieu d'une ligne. Si on répète deux fois la démarche expliquée plus haut sur le triangle équilatéral on voit le résultat suivant :

Si on continue ce même procédé assez longtemps, on aboutit à l'image du flocon de neige.

En pratique, sur l'ordinateur la courbe arrête de changer lorsque la longueur du segment élémentaire devient plus petite que la distance entre deux pixels. Mathématiquement on continue indéfiniment et on crée ainsi une courbe de longueur infinie.

On voit que la forme suivante est omniprésente dans la figure du flocon de neige, sur toutes les orientations possibles et à toute échelle.

C'est ce que l'on appelle l'auto similarité.

 

 

Auto similarité suite.