L'équation qui développe l'ensemble de Mandelbrot est simple : z = z² + c. Pour voir si un point fait partie de l'ensemble de Mandelbrot il faut prendre un nombre complexe z, le multiplier par lui même, et rajouter le nombre d'origine c. On multiplie le résultat par lui même et on lui rajoute le nombre d'origine c. On répète l'opération encore et encore. Si le résultat tend vers l'infini, z ne fait pas partie de l'ensemble de Mandelbrot. Si le résultat est inférieur à un certain niveau, z fait partie de l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble de Mandelbrot est la partie noire interne de l'image. Et chaque niveau de gris représente la vitesse d'éloignement d'un point particulier.

On peut comprendre l'image en imaginant que l'on découpe la forme dans une plaque de métal, on chauffe la plaque et on mesure la température autour de la plaque. On donne différentes couleurs aux points situés dans différentes tranches de température. La température monte lorsque l'on s'approche de la plaque de métal. C'est là que ça devient crucial, la limite, les bords de l'ensemble de Mandelbrot sont extrêmement compliqués. L'image ne donne qu'une petite idée de la complexité, on peut cependant voir différents disques de plusieurs taille et on peut imaginer qu'il y en a encore beaucoup d'autres encore plus petits, la résolution de l'image étant limitée elle ne nous permet pas de tout voir. L'ensemble s'étend comme d'imperceptibles cheveux qui relient l'ensemble principal à d'autres mini-répliques de lui même. Ces ligne sont invisibles ce sont des lignes mathématiques, mais elles provoquent une hausse de température. Regardons les bordures de l'ensemble de très près. On a besoin d'un microscope c'est ce que certains logiciels sont capables de faire. Dans les trois images qui suivent on a une idée de la complexité de l'ensemble.

La troisième image est un agrandissement de la seconde image qui est elle même un agrandissement de la première image. On peut voir que la forme noire de la troisième image ressemble beaucoup à la forme noire de la première image. C'est une propriété générale de l'ensemble de Mandelbrot. Aussi profondément que l'on agrandit un morceau de l'image, on sera capable de trouver une mini réplique de la vue générale de l'ensemble de Mandelbrot. C'est comme la signature de l'ensemble de Mandelbrot.

L'image qui suit a été trouvée sur la gauche de l'ensemble, c'est un énorme agrandissement.

Si on imagine qu'elle fasse 10 centimètres de large, à la même échelle, l'ensemble principal serait grand de 10E33 cm (10 à la puissance 33), Ce qui représente 10E15 années lumières ( la voie lactée n'est grande que ce 100 000 années lumières de diamètre). Ceci donne une idée de la complexité et l'infinité des fractales.